Propriétés d'une fonction à partir de sa fonction dérivée

On étudie la fonction \(f\) définie sur \([-2~;4]\) par \(f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-x^2-x-\dfrac{4}{3}\).

1. Déterminer l'expression de la dérivée \(f'\).
2. Montrer que \(f'(x)=(x-1+\sqrt{2})(x-1-\sqrt{2})\), pour tout réel \(x\).
3. Dans un même tableau, indiquer le signe de \(f'(x)\), puis en déduire les variations de \(f\).
4. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(1\).
5. Dans un repère, tracer cette tangente, puis proposer un tracé à main levée de la courbe de \(f\).
6. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
    a. La tangente a la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(1\) a plusieurs points d'intersection avec la courbe de \(f\).
Aide : montrer que résoudre l'équation \(f(x)=-2x-1\) revient à résoudre l'équation \(\dfrac{1}{3}(x-1)^3=0\).
    b. Toute tangente à la courbe de \(f\) a un unique point d'intersection avec la courbe de \(f\).
Aide : déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(0\), puis vérifier que cette tangente coupe la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(3\).